第四十周 解不定方程
专题简析:
当方程的个数比方程中未知数的个数少时,我们就称这样的方程为不定方程。如5x-3y=9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话,它的解有无数个;如果附加一些限制条件,那么它的解的个数就是有限的了。如5x-3y=9的解有:
x=2.4    x=2.7   x=3.06  x=3.6
                                     ………
y=1      y=1.5   y=2.1   y=3
   如果限定x、y的解是小于5的整数,那么解就只有x=3,Y=2这一组了。因此,研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
   解不定方程时一般要将原方程适当变形,把其中的一个未知数用另一个未知数来表示,然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点,尽量缩小未知数的取值范围,减少试验的次数。
   对于有3个未知数的不定方程组,可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
   解答应用题时,要根据题中的限制条件(有时是明显的,有时是隐蔽的)取适当的值。
例1.
   求3x+4y=23的自然数解。
     先将原方程变形,y=。可列表试验求解:
X	1	2	3	4	5	6	7		Y	5	×	×	×	2	×	×		所以方程3x+4y=23的自然数解为 
                                 x=1       x=5
                                y=5       y=2
练习一
求3x+2y=25的自然数解。
求4x+5y=37的自然数解。
求5x-3y=16的最小自然数解。
例2
   求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z=25
3x-y-6z=2
这是一个三元一次不定方程组。解答的实话,要先设法消去其中的一个未知数,将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z=25     ①
3x-y-6z=2     ②
由①×2+②,得13x+13y=52
                x+y=4       ③
把③式变形,得y=4-x。
因为x、y、z都是正整数,所以x只能取1、2、3.
   当x=1时,y=3
   当x=2时,y=2
   当x=3时,y=1
  把上面的结果再分别代入①或②,得x=1,y=3时,z无正整数解。
                                  x=2,y=2时,z也无正整数解。
                                  x=3时,y=1时,z=1.
所以,原方程组的正整数解为  x=1
                            y=1
                            z=1
练习2
求下面方程组的自然数解。
1、 4x+3y-2z=7                  2、  7x+9y+11z=68
3x+2y+4z=21                       5x+7y+9z=52
3、5x+7y+4z=26
3x-y-6z=2
例3
   一个商人将弹子放进两种盒子里,每个大盒子装12个,每个小盒子装5个,恰好装完。如果弹子数为99,盒子数大于9,问两种盒子各有多少个?
   两种盒子的个数都应该是自然数,所以要根据题意列出不定方程,再求出它的自然数解。
   设大盒子有x个,小盒子有y个,则
   12x+5y=99(x>0,y>0,x+y>9)
        y=(99-12y)÷5
经检验,符合条件的解有: x=2            x=7
                             y=15           y=3
      所以,大盒子有2个,小盒子有15个,或大盒子有7个,小盒子有3个。
练习3.
某校6(1)班学生48人到公园划船。如果每只小船可坐3人,每只大船可坐5人。那么需要小船和大船各几只?(大、小船都有)
甲级铅笔7角钱一枝,乙级铅笔3角钱一枝,小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝?
小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔,他们买来的铅笔中都是5分一枝和7分一枝的两种,而且小华买来的铅笔比小强多,小华比小强多买来多少枝?
例题4
买三种水果30千克,共用去80元。其中苹果每千克4元,橘子每千克3元,梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克?
设苹果买了x千克,橘子买了y千克,梨买了(30-x-y)千克。根据题意得:
       4x+3y+2×(30-x-y)=82
                           x=10-
由式子可知:y<20,则y必须是2的倍数,所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。因此,原方程的解如下表:
苹果	9	8	7	6	5	4	3	2	1		橘子	2	4	6	8	10	12	14	16	18		梨	19	18	17	16	15	14	13	12	11		练习4
有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26只,其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍,蓝皮球有多少只?
用10元钱买25枝笔。已知毛笔每枝2角,彩色笔每枝4角,钢笔每枝9角。问每种笔各买几枝?(每种都要买)
晓敏在文具店买了三种贴纸;普通贴纸每张8分,荧光纸每张1角,高级纸每张2角。她一共用了一元两角两分钱。那么,晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张?
例5
   某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。原计划一等奖每人发6枝,二等奖每人发3枝,三等奖每人发2枝。后又改为一等奖每人发9枝,二等奖每人发4枝,三等奖每人发1枝。问:一、二、三等奖的学生各有几人?
   设一等奖有x人,二等奖有y人,三等奖有z人。则
        6x+3y+2z=22     ①
        9x+4y+z=22      ②
由②×2-①,得12x+5y=22
                    y =                         x=1
x只能取1。Y=2,代入①得z=5,原方程的解为             y=2
                                                         z=5
所以,一等奖的学生有1人,二等奖的学生有2人,三等奖的学生有5人。
练习5
某人打靶,8发打了53环,全部命中在10环、7环和5环。他命中10环、7环和5环各几发?
篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋30个,价值24元。已知煮蛋每个0.60元,茶叶蛋每个1元,皮蛋每个1.20元。问篮子里最多有几个皮蛋?
一头猪卖3个银币,一头山羊卖1个银币,一头绵羊买个银币。有人用100个银币卖了这三种牲畜100头。问猪、山羊、绵羊各几头?

第四十周 解不定方程专题简析:当方程的个数比方程中未知数的个数少时,..第四十周 解不定方程专题简析:当方程的个数比方程中未知数的个数少时,我们就称这样的方程为不定方程。如5x-3y=9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话,它的解有无数个;如果附加一些限制条件,那么它的解的个数就是有限的了。如5x-3y=9的解有:x=2.4 x=2.7 x=3.06 x=3.6

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文档分类:
数学 -- 全国 -- 六年级
文档标签:
数学 人教版,不定方程
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