2010年中考数学复习必备教案——第四单元第23课时 直角三角形与勾股定理

第四单元 第23课时 
直角三角形与勾股定理
知识点回顾
知识点一:直角三角形的概念与性质
1.有一个角是      的三角形叫做直角三角形;
2.直角三角形的两个锐角       ;
3.直角三角形斜边上的中线等于       的一半.
例1.(2009湖北省荆门市)如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,将其折叠,使点A落在边CB上A′处,折痕为CD,则∠A′DB =                      (     )                                            
A、40°         B、30°         C、20°        D、10°
解:∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,
∴∠B=90°-50°=40°
由折叠得∠DA′C=∠A=50°,
∵∠DA′C=∠B+∠A′DB
∴∠A′DB=50°-40°=10°,选D.
例2.若直角三角形斜边上的高和中线分别为10cm、12cm,则它的面积是      cm2.
解:∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,
∴直角三角形斜边的长为2×12=24cm.
∴直角三角形的面积是×24×10=120cm2.
同步检测一:
1.(2009年湖南省郴州市)如图2,桌面上平放着一块三角板和一把直尺,小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘,他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转,还是将三角板沿直尺平移,∠1与∠2的和总是保持不变,那么∠1与∠2的和是_______度.
2.如图3,Rt△ABC中,∠B=90°,BD⊥AC于D,点E为AC的中点,若BC=7,AB=24,则BE=       ,BD=        .

直角三角形          的平方和等于     的平方.
例3.(2009年四川省宜宾市)已知:如图4,以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3,则图中阴影部分的面积和为        .
解:过点E作ED⊥AB于点D,可证得ED=AB,
∴=AB2,
同理=AC2,=BC2,
从而图中阴影部分的面积和为(AB2+ AC2+ BC2)
=(AB2+ AB2)=.
例4.(2009年湖南省衡阳市)如图5,矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,则AG的长为                   (     )
	A、1		    B、          C、	 	 D、2
解:Rt△DAB中,BD=,
设AG=x,则BG=4-x
由折叠得A′D=AD=3,A′G=AG=x,∠DA′G=∠A=90°,
∴A′B=BD-A′D=5-3=2,∠GA′B=90°,
从而Rt△GA′B中,x2+22=(4-x)2.
解得x=,选C.
同步检测二:
3.如果直角三角形的两条边长分别是3和4,那么该直角三角形斜边上的中线等于     .
4.(2009年四川省达州市)如图6是一株美丽的勾股树,
其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角
A、B、C、D的边长分别是3、5、
2、3,则最大正方形E的面积是            (     )
A、13          B、26        
C、47          D、94
★5.(2009年黑龙江省哈尔滨市)若正方形ABCD的边长为4,
E为BC边上一点,BE=3,M为线段AE上一点,射线BM
交正方形的一边于点F,且BF=AE,求BM的长.
知识点三:直角三角形的判定方法
1.根据定义:有一个角是      的三角形叫做直角三角形;
2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a、 b、 c有关系:          ,那么这个三角形是直角三角形,且∠C=90°.
例5.(2009年湖南省衡阳市)如图7,A、B、C分别表示三个
村庄,AB=1000米,BC=600米,AC=800米,在社会主义
新农村建设中,为了丰富群众生活,拟建一个文化活动中心,
要求这三个村庄到活动中心的距离相等,则活动中心P的位
置应在                                    (     )
A、AB中点			   B、BC中点
C、AC中点			   D、∠C的平分线与AB的交点
解:显然到A、B、C三个村庄距离相等的点P应该是AB、BC、AC三边垂直平分线的交点.
又∵BC2+AC2=6002+8002=1000000;AB2=10002=1000000
∴BC2+AC2=AB2,
∴∠ACB=90°,
由于直角三角形三边垂直平分线的交点在斜边的中点处,从而活动中心P的位置应在AB的中点处,选A.
例6.如图8,点P是等边△ABC内的一点,分别连接PA、PB、PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.        
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论;
(2)若PA∶PB∶PC=3∶4∶5,连接PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由.
(1)答:AP=CQ
证:∵△ABC为等边三角形
∴AB=BC,∠ABC=60°
∵∠PBQ=60°
∴∠ABC=∠PBQ
∴∠ABP=∠CBQ
在△ABP与△CBQ中,
∴△ABP≌△CBQ(SAS)
∴AP=CQ
2)答:△PQC为直角三角形.
理由是:设PA=3k,则PB=4k,PC=5k(k>0),CQ=AP=3k
∵BQ=BP,∠PBQ=60°
∴△PBQ为等边三角形(有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形)
∴PQ=PB=4k
又CQ2=9k2,PQ2=16k2,PC2=25k2,
∴CQ2+PQ2=PC2
∴△PQC为直角三角形,且∠PQC=90°.
同步检测三:
6、(2009年黑龙江省牡丹江市)如图9, △ABC中,CD⊥AB于D,下列条件中:①∠1=∠A;②;③∠B+∠2=90°;④BC∶AC∶AB=3∶4∶5;⑤AC×BD=AC×CD,一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是                    (     )
    A、1 		B、2   		C、3   		D、4
7、(2009年甘肃省定西市)如图10,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点,
求证:(1)△ACE≌△BCD;(2)AD2+DB2=DE2.
随堂检测:
1.(2009年湖南省长沙市)如图11,等腰△ABC中,AB=AC,AD是底边上的高,若AB=5cm,BC=6cm,则AD=        cm.
2(2009年上海市)如图12,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3, M为边BC上的点,联结AM.如果将△ABM沿直线AM翻折后,点B恰好落在边AC的中点处,那么点M到AC的距离是        .
3.(2009年贵州省安顺市)如图13,图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的. 在Rt△ABC中,若直角边AC=6,BC=6,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图乙所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是______.
42009年浙江省湖州市)如图14,已知在Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠,AB=4,分别以AC、BC为直径作半圆,面积分别记为S1、S2,则S1+S2的值等于        .
5.(2009年湖北省恩施自治州)如图15,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是                                                              (   )
A、5         B、25          C、10+5         D、35

62009年浙江省丽江市)如图16,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l1,l2,l3上,且l1,l2之间的距离为2 , l2,l3之间的距离为3 ,则AC的长是                                                 (     )
A、       B、       C、       D、7
7.(2009年新疆维吾尔自治区)如图17是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形,两直角边长分别是,斜边长为和一个边长为的正方形,请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.
(1)画出拼成的这个图形的示意图.
(2)证明勾股定理.
8.(2009年湖北省恩施自治州)恩施州自然风光无限,特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.如图18,著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X同侧,AB=50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案,图(1)是方案一的示意图(AP与直线X垂直,垂足为P),P到A、B的距离之和S1=PA+PB,图(2)是方案二的示意图(点A关于直线X的对称点是A′,连接BA′交直线X于点P),P到A、B的距离之和S2=PA+PB.
(1)求S1、S2,并比较它们的大小;
(2)请你说明S2=PA+PB的值为最小;
3)拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直,建立如图(3)所示的直角坐标系,B到直线Y的距离为30km,请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.
9.(2009年黑龙江省牡丹江市)有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6m,8m. 现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.
10.(2009年湖北省咸宁市)
问题背景:在△ABC中,AB、BC、AC三边的长分别为、、,求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处),如图19中的图①所示.这样不需求△ABC的高,而借用网格就能计算出它的面积.
(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上:__________________
思维拓展:
(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法.若△ABC三边的长分别为a、、(a>0),请利用图19中的图②的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC,并求出它的面积.
探索创新:
(3)若△ABC三边的长分别为、、(m>0,n>0,且m≠n),试运用构图法求出这三角形的面积.

知识点回顾的答案
知识点一:直角;互为余角;斜边;
知识点二:两直角边;斜边;
知识点三:直角;a2+b2=c2.
同步测试的答案
1.90°;     2.BE=,BD=;      3.2或;        4.A;
5.(1)当点F在DC上时,如图1,先证△ABE≌△BCF,可得AE=BF=5,BE=CF=3,AE⊥BF,再由面积公式得BM=.
(2)当点F在AD上时,如图2,先证△ABE≌△BAF,可得BE=AF=3,∴AE=BF=5,连结EF,证□ABEF,∴BM=BF=.
6.C(提示:能确定△ABC为直角三角形的有①②④,共3个)
7.证明:(1) ∵ ∠ACB=∠ECD=90°,
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD,
即 ∠BCD=∠ACE
∵BC=AC,DC=EC,  
∴△ACE≌△BCD.
2)∵△ACB是等腰直角三角形,
∴∠B=∠BAC=45°.
∵△ACE≌△BCD, 
∴∠CAE=∠B=45°.
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°.
∴Rt△DAE中,AD2+AE2=DE2.
ACE≌△BCD
∴ AE=DB,
∴AD2+DB2=DE2.
1.4cm;           2.2;             3.76;
4.2π;            5.B;             6.A
7.解:(1)如图,
(2)证明:大正方形的面积表示为,大正方形的面积也可表示为,
∴=,即,
∴,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
8.解:(1)图18(1)中过B作BC⊥AP,交PA的延长线于点C,则PC=40,又AP=10,∴AC=30.
在Rt△ABC 中,AB=50 ,AC=30,∴BC=40 ,∴ BP=,
∴S1=;
图18(2)中,过B作BC⊥AA′,交A′A的延长线于点C,则A′C=50,又BC=40,
∴BA′=,
由轴对称知:PA=PA′,∴S2=BA′=, 
∴S1>S2. 
(2)如 图18(2),在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA',由轴对称知MA=MA′,∴MB+MA=MB+MA′>A′B,∴S2=BA′为最小.
(3)如图,过A作关于X轴的对称点A′,过B作关于Y轴的对称点B′,连接A′B′,交X轴于点P,交Y轴于点Q,则P,Q即为所求.
过A′、 B′分别作X轴、Y轴的平行线交于点G,A′B′=,
∴所求四边形的周长为.
9.解:设在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6. 由勾股定理有:AC=10.
扩充部分为Rt△ABD,扩充成等腰△ACD,应分以下三种情况:
①如图1,当AC=AD=10时,可求BD=CB=6,得△ACD的周长为32m;
②如图2,当AC=CD=10时,可求BD=4,由勾股定理得:AD=4,得△ACD的周长为(20+4)m;
③如图3,当AC为底时,设AD=CD=x,则BD=x-6,由勾股定理得:x=,得△ACD的周长为m.

101)3.5;
(2)如图②,构造△ABC,使AB=a,BC=,AC=,∴△ABC的面积为×(2a+4a)×2a-×a×2a-×a×4a=3a2;
(3)如图③,先构造长和宽分别为4n、3m的长方形网格,再构造△ABC,使AC=,BC=,AB=,∴△ABC的面积为3m×4n-×m×4n-×2n×3m-×2n×2m=5mn.
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(图1)
(图3)
(图2)
(图4)
(图5)
(图6)
(图7)
(图8)
(图10)
(图9)
(图11)
(图13)
(图12)
S1
S2
(图14)
(图15)
(图16)
(图17)
(图18)
(图①)
(图②)
A
C
B
(图19)
(图1)
(图2)
(第5题答案图)
(第7(1)题答案图)
(第8题答案图)
(图1)
(图2)
(图3)
(第9题答案图)
(第10题答案图)
(图②)
(图③)

第四单元 第23课时 直角三角形与勾股定理知识点回顾知识点一:直..第四单元 第23课时 直角三角形与勾股定理知识点回顾知识点一:直角三角形的概念与性质1.有一个角是 的三角形叫做直角三角形;2.直角三角形的两个锐角 ;3.直角三角形斜边上的中线等于 的一半.例1.(2009湖北省荆门市)如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,将其折叠,使点A落在边CB上A′处,折痕为CD,则∠A′DB...

文档格式:
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文档分类:
数学 -- 全国 -- 九年级
文档标签:
数学 复习 教案
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