广东省韶关四中八年级上数学第十二章学案

课题:12.1轴对称(1)
【学习目标】通过展示轴对称图形的图片,初步认识轴对称图形;通过试验,归纳出轴对称图形概念,能用概念判断一个图形是否是轴对称图形;理解轴对称图形和两个图形成轴对称这两个概念的区别与联系。能够判别两个图形是否成轴对称;培养良好的动手试验能力、归纳能力和语言表述能力。
【学习重点】理解轴对称图形的概念,判断图形是否是轴对称图形  
【学习难点】两个图形成轴对称与轴对称图形两个概念的区别与联系。
【学习过程】
一、学前准备
1、观察课本中的7副图片,你能找出它们的共同特征吗?
2、你能列举出一些现实生活中具有这种特征的物体和建筑物吗?
二、探索思考
探索一:动手做一做:把一张纸对折,然后从折叠处剪出一个图形,展开后会是一个什么样的图形?它有什么特征?
归纳:轴对称定义:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与               重合,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线就是对称轴,两个图形中的对应点(即两个图形重合时互相重叠的点)叫做对称点。
练习1:标出下列图形中的对称点
探索二:关于某条直线成轴对称的图形的性质特征
思考:教材P31(上面那个)
归纳:成轴对称的两个图形全等.如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形全等,并且也是成轴对称的.
探索三:轴对称图形和关于直线成轴对称有什么区别和联系?
区别: 轴对称是说    个图形的位置关系,轴对称图形是说    个具有特殊形状的图形。                 
联系:都能沿着某条直线           。这条直线是对称轴。
归纳:如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称;反过来,如果把两个成轴对称的图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.
    例1.我国的文字非常讲究对称美,分析图中的四个图案,图案(   )有别于其余三个图案.
                                              思路分析:
                                             所用知识点:
例2.如图是我国几家银行的标志,在这几个图案中是轴对称图形的有哪些?它们各有几条对称轴,你能画出来吗?(小组讨论完成)
                                              思路分析:
   
                                              所用知识点:
练习2:
1、下面给出的每幅图中的两个图案是轴对称的吗?如果是,试着找出它们的对称轴,并找出一对对称点.
2、下列图形中,是轴对称的图形的个数是 (      )
 (A)1      (B)2       (C)3       (D)4
3、下面的希腊字母中, 是轴对称图形的是(     )
Χ  δ  λ  Ψ
    A         B         C         D
4、下列图形中,不是轴对称图形的是(     )
	
三、学习反思:本节课你有哪些收获?
课题:12.1轴对称(2)
【学习目标】通过动手实验,掌握关于某条直线成轴对称的两个图形的对应线段相等、对应角相等及相关的轴对称的性质;了解垂直平分线的定义。
【学习重点】轴对称图形的对应线段相等、对应角相等。
【学习难点】掌握轴对称图形的性质。
【学习过程】
一、学前准备
    试验:在纸上滴上墨水,把纸张对折,随后打开,看看形成的两块墨迹是不是关于折痕对称?它的对称轴是哪一条?把它画出来。
二、探索思考
探索一:轴对称的性质
1、如图,△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称,点A′B′C′分别是点A、B、C的对称点,线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系?
(1)设AA′交对称轴MN于点P,将△ABC和△A′B′C′沿MN折叠后,点A与A′重合吗?
于是有PA=           ,∠MPA=         =         
(2)对于其他的对应点,如点B、B′,C、C′也有类似的情况吗?            
(3)那么MN与线段AA′,BB′,CC′的连线有什么关系呢?
                                             
2、垂直平分线的定义:
经过线段       并且         这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线
3、轴对称的性质:
如果两个图形关于某条直线对称,那么           是任何一对对应点所连线段的                     
类似地,轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的              。
探索二:
例1、李芳同学球衣上的号码是253,当他把镜子放在号码的正左边时,镜子中的号码是(    )
例2、观察规律并填空:
例3、参照下图说明轴对称图形与两个图形成轴对称有什么区别与联系?
(小组讨论回答)                         思路分析:
  所用知识点:
练习:
1、如图,将一块正方形纸片沿对角线折叠一次,然后在得到的三角形的三个
角上各挖去一个圆洞,最后将正方形纸片展开,得到的图案是(     )
2、下面哪些选项的右边图形与左边图形成轴对称?
3、如图,若沿虚线对折,左边部分与右边部分重合,请找出图中A、B、C的对称点,并说出图中有哪些角相等?哪些线段相等? 
4、如图,四边形ABCD与四边形EFGH关于MN对称。
(1)A、B、C、D的对称点分别是__________,线段AC、AB的对应线段分别是________,CD=________, ∠CBA=__________,∠ADC=__________.
(2)连结AE和BF,AE与BF平行吗?为什么?
(3)若AE与BF平行,能说明轴对称图形对称点的连线一定互相平行吗?
(4)延长线段BC、FG,交于点P,延长线段AB、EF,交于点Q,,你有什么发现吗?

课题:12.1轴对称(3)线段的垂直平分线
【学习目标】理解线段垂直平分线与对称轴的关系;掌握线段垂直平分线的性质;通过动手试验掌握线段的垂直平分线的定义
【学习重点】线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
【学习难点】运用线段垂直平分线性质解决问题。
【学习过程】
一、学前准备:
    预习新知P31----P33
    线段是轴对称图形吗?通过折叠的方法作出线段AB的对称轴l,交AB与O
    (1)点A的对称点是_______
    (2)量出AO与BO的长度,它们有什么关系?
     (3)AB与直线l在位置上有什么关系?
二、探索思考
探索一:观察课本P31思考中的图,线段AA′,BB′,CC′与直线MN的关系是________
由上可得:对称轴与对应点所连线段的垂直平分线有什么关系?
探索二:线段垂直平分线的性质(教材P32)
如图,已知直线l垂直平分线段AB,交AB于C,点P是l上任意一点,连接PA,PB.量出PA,PB的长度,它们有什么关系?
归纳:线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的      与这条线段           的距离          
7、由下面每个图所给条件,找出图中相等的线段,并说明理由。                                                   
                                                           
                                                                                             
 A在BC的垂直平分线上        ED垂直平分BC         直线MN和DE分别是
                                                   线段 AB、BC的垂直平分线
例1、已知互不平行的两条线段AB, A′B′关于直线l对称,AB, A′B′所在的直线交于点P,判断下列正误。
(1)AB=A′B′(     );(2)点P在直线l上(      );(3)若A, A′是对称点,则l垂直平分线段A A′(      );(4)若B, B′是对称点,则PB=P B′(      )
例2.如右图所示,△ABC中,BC=10,边BC的垂直平分线分别交
AB、BC于点E、D,BE=6,求△BCE的周长。
思路分析:
所用知识点:
练习1:
1、如右图所示,直线MN和DE分别是线段 AB、BC的垂直平分线,它们交于P点,请问PA和 PC相等吗?为什么? 
2、如图,△ABC中,AB=AC=18cm,BC= 10cm,AB的垂直平分线ED交AC于D点,求:△BCD的周长。
3、如下图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上,AB、AC、CE的长度有什么关系?AB+BD与DE有什么关系?
5、△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,△ABD的周长为13cm,求△ABC的周长。
三、学习反思:本节课你有哪些收获?
课题:12.1轴对称(4)线段的垂直平分线判定
【学习目标】进一步理解线段垂直平分线的性质,并能灵活运用;掌握线段垂直平分线的判定;运用线段垂直平分线的判定解决问题
【学习重点】探索并理解线段垂直平分线的判定
【学习难点】运用线段垂直平分线的判定解决问题
【学习过程】
一、学前准备:
用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋,做一个简易的弓,箭通过木棒中央的孔射出去。
                               
          (1)                                      (2)
(1)如图(1)要使CO垂直于AB,需要添加什么条件?为什么?那么点C在________上。
(2)如图(2),拉动C,到达D的位置,若AD=DB,那么点D在__________上。
二、探索思考
探索一:把上节课所学的垂直平分线的性质反过来,如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上?根据上面的题目,你能得到什么结论?
归纳:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的_______________________上.
3、根据上面的结论,完成下面问题。
                                                  
                                                           
若AB=AC,则点A在           若EB=EC,则点E在线段        若PA=PB=PC,
线段___的垂直平分线上。      _____的垂直平分线上,又      则点P 即在线段                  
                             BD=DC,则____是____的        _____,又在线段
                              垂直平分线。                ______的垂直平分 
                                                          线上。
                                                          
例、如图所示,已知Rt△ABC中,C=90°,沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形,使C点落在AB边上的点D.要使点D恰为AB的中点,问还要添加什么条件?D为AB的中点2、如图所示,有A、B、C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在(   )
A.在AC、BC两边高线的交点处     B.在AC、BC两边中线的交点处
C.在AC、BC两边垂直平分线的交点处   D.在A、B两内角平分线的交点处
3、如下图,AB=AC,MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗?
5、已知:E是AOB的平分线上一点,ECOA ,EDOB ,垂足分别为C、D.求证:ECD=∠EDC ;OE是CD的垂直平分线.
A、A' 关于直线 l 对称,请说明直线l与线段AA'的关系。
2、定义:                    一条线段的直线叫作线段的垂直平分线。
二、探索思考
探索一:性质1:如果l是线段AA' 的垂直平分线,则点A、A' 关于直线 l 对称。
如图2,直线 l 是线段AA' 的垂直平分线,有一只小蜘蛛P分别向点A、A' '吐丝。
(1)比较PA与P A' 的大小。
(2)若蜘蛛P在 l 上运动,PA、 PA' 的大小关系是否改变?
性质2:垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等。
因为P点在线段AA' 的垂直平分线上,所以               
练习1:
1、如图3,∵                     ,
          ∴AB=AC
理由是                                          
如图4,若AC=10,BC=8,AB的垂直平分线交AB于E,
交AC于D,求△BCD的周长。
解:∵ED是线段AB的垂直平分线
∴AD=         
∵ △BCD的周长=BD+DC+BC
∴ △BCD的周长=      +DC+BC
                =      +BC 
                =                 
探索二:说一说:你能找出线段AA' 的垂直平分线吗?有哪些方法?
判定1:如果两点A、A' 关于直线 l 对称,则直线 l 是线段AA' 的垂直平分线。
如图5一只聪明的蜘蛛P分别向点A、 A' 吐丝,它始终能使PA=PA' ,
你知道这只蜘蛛P是在哪条线上运动的吗?为什么?
判定2:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
如果PA=PA',则点P在线段AA' 的                       。
如图6,因为            ,所以点A在线段BC的垂直平分线上
   理由是                                       
下面两位同学的说法对吗?你同意谁的说法。为什么?
探索三:(1)小组讨论:用圆规找出到线段两端距离相等的点。
 (2)利用圆规、直尺作出线段AB的垂直平分线。
并找到线段AB的中点。
练习二
1、如图,△ABC中,边AB、BC的垂直平分线交于点P。
(1)PA、PB、PC相等吗?
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上呢?由此你能得出什么结论?
2、石油公司计划修建一加油站,到长沙、株洲、湘潭三地的距离相等。你认为该加油站应建于何处?
                      
三、学习反思:本节课你有哪些收获?
课题:12.2.1作轴对称图形学案
【学习目标】认识轴对称变换的实质,会作已知图形关于某条直线对称的图形;理解并掌握平面内一条直线同侧两个点与直线上的某一点距离之和为最小值时的点的位置的确定。
【学习重点】轴对称变换的意义;作轴对称的方法;
【学习难点】运用轴对称解决距离之和的最小值的问题
【学习过程】
一、学前准备:
1、阅读教材P39的四辐图,
2、操作:自己动手在纸上画一个图案,将这张纸折叠,描图,再打开纸,看看你得到了什么?改变折痕的位置再试一次,你又得到了什么?
3、归纳:
(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形,这个图形与原图形的__________、_____________完全相同;
(2)新图形上的每一个点,都是原图形上的某一点关于直线l的 _____________点;
(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴__________________。
二、探索思考
探索一:例1、如图,已知△ABC和直线l,你能作出△ABC关于直线l对称的图形。    

总结:作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步聚:
1、找点(确定图形中的一些特殊点);
2、画点(画出特殊点关于已知直线的对称点);
3、连线(连接对称点)。
练习1:
1、画下列图形关于直线MN的轴对称图形;
2、已知△ABC和直线l,你能作出△ABC关于直线l对称的图形。                 
3、作出下面图形关于直线l的轴对称图形。
4、.要在燃气管道L上修建一个泵站,分别向A,B两镇供气,泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?
5、如图,把一个正方形对折两次后沿虚线剪下,展开后所得的图形是
      上折                  右折               沿虚线剪开         展开
                                   
A.					B.					C.					D.
三、学习反思:本节课你有哪些收获?
课题:12.2.2用坐标表示轴对称
【学习目标】在平面直角坐标系中,确定轴对称变换前后两个图形中特殊点的位置关系,再利用轴对称的性质作出成轴对称的图形
【学习重点】用坐标表示轴对称
【学习难点】用坐标表示轴对称
【学习过程】
一、学前准备:
    请同学们在直角坐标系中标出下列各点,并画出下列各点关于x轴对称的对称点.A (2,3) ,B (-4, 2), C(3, -4)
二、探索思考
探索一:根据上图所画得的各对称点,找出规律:
已知点	A(2,3)	B (-4, 2)	C(3, -4)	D(-1,-1)	E(x,y)		关于x轴对称的点							关于x轴对称的点的坐标的特点是:横坐标_________,纵坐标_________________
口诀:横_________,纵_________
练习1:
1、点P(-5, 6)Q关于x轴对称,则点Q的坐标为__________.
2、点M(a, -5)N(-2, b)x轴对称,则a=_____, b =_____.
探索二:请同学们再在直角坐标画出下列各点关于y轴对称的对称点.A (2,3) ,B (-4, 2), C(3, -4)
找出规律:
已知点	A(2,3)	B (-4, 2)	C(3, -4)	D(-1,-1)	E(x,y)		关于y轴对称的点							关于y轴对称的点的坐标的特点是:横坐标_________,纵坐标_________________
口诀:横_________,纵_________
练习2:
1、点P(-5, 6)Q关于y轴对称,则点Q的坐标为__________.
2、点M(a, -5)N(-2, b)y轴对称,则a=_____, b =_____.
归纳:
已知点	A(2,3)	B (-4, 2)	C(3, -4)	D(-1,-1)	E(x,y)		关于x轴对称的点							关于y轴对称的点							4.在平面直角坐标系中,
(1)关于x轴对称的点: ______________________________.
点(x, y)关于x轴对称的点的坐标为____________
(2)关于y轴对称的点: ______________________________.
点(x, y)关于y轴对称的点的坐标为_____________
练习3:
1、点(,3)关于x轴对称的点的坐标为__________。
2、点P关于y轴对称的点的坐标为(3,),则点P的坐标是____________。
3、已知A(a,-3)和点B(2,b)若A、B两点关于x轴对称,则a=_____,b= _______。若A、B关于y轴对称,则a= ________,b=________。
4、如图,四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1),B(-2,1),C(-2,5),D(-5,4),分别作出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形.
三、学习反思:本节课你有哪些收获?
角平分线性质和垂直平分线性质练习
1、角平分线性质定理:
角平分线上一点______________________________________。
如图把证明书写格式填完整:
∵OP平分∠AOB,___________,_____________(已知)
∴_________=__________(角平分线的性质定理)
练习1:
如图,CD⊥AB,BE⊥AC,CD和BE交于点O,AO平分∠BAC。
证明:AB=AC
2、角平分线的性质定理的逆定理:
____________________________________的点在这个角的平分线上。
证明书写格式:
∵PA⊥OA,PB⊥OB,________=__________(已知)
4、垂直平分线的线质定理的逆定理:
____________________________________________的点在这条线段的垂直平分线上。
证明格式:
∵____________=_______________(已知)
∴点P在__________________________上。
练习4:某地有两所大学和两条相交叉的公路,如图14-32所示(点M,N表示大学,AO,BO表示公路).现计划修建一座物资仓库,希望仓库到两所大学的距离相等,到两条公路的距离也相等.(10分)
(1)你能确定仓库应该建在什么位置吗?在所给的图形中画出你的设计方案;
(2)阐述你设计的理由.
作图题练习
一、尺规作图(只能使用无刻度的直尺和圆规作图)
1、画一个角等于已知角:如图,已知∠AOB,在下面画一个角等于∠AOB
2、画一个三角形与已知三角形全等:如图,已知△ABC,求作△DEF,使△DEF≌△ABC,你能想出几种方法?理由是什么?
3、画一个角的角平分线:在下图中画出∠AOB的角平分线OC
 4、如图,三条公路两两相交于A、B、C三点,现计划建一座综合供应中心,要求到三条公路的距离相等,则你能找出符合条件的地点吗?画出来。
 
          
5、画线段的垂直平分线:如图,已知线段AB,画出AB的垂直平分线
6、如图,三条公路两两相交于A、B、C三点,现计划建一个监控站,要求到三条公路的三个交点的距离相等,则你能找出符合条件的地点吗?画出来。
 ’B’C’,使它与△ABC关于直线l成轴对称
2、要在燃气管道L上修建一个泵站,分别向A,B两镇供气,泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?
课题:12.3.1等腰三角形(1)
【学习目标】了解等腰三角形的概念,掌握等腰三角形的性质;运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题;等腰三角形的概念及性质。
【学习重点】等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用。
【学习难点】运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题
【学习过程】
一、学前准备:
1、下列图形不一定是轴对称图形的是(  )
  A圆    B长方形     C线段         D三角形
2、怎样的三角形是轴对称图形?答:________________________。
3、有两边相等的三角形叫_____________三角形,相等的两边叫_______,另一边叫_________。
两腰的夹角叫_________,腰和底边的夹角叫______。 
4、如图,在△ABC中,AB=AC,标出各部分名称
二、探索思考
探索一:等腰三角形的性质
进行教材P49的探究活动
把活动中剪出的△ABC沿折痕AD对折,找出其中重合的线段和角,填入下表
归纳等腰三角形的性质:
性质1 等腰三角形的两个______________相等(简写成“_______________”)
性质2 等腰三角形_______________、______________、___________互相重合。简称:___________________。
证明性质1:
已知:如图 在△ABC中,AB=AC
求证:∠B=∠C
练习:
1、在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.
2、已知一个等腰三角形两个内角的度数之比为1:4,则这个等腰三角形顶角的度数为           。
3、(1)等腰三角形的一个角是110°,它的另外两个角的度数是______________。
  (2)等腰三角形的一个角是80°,它的另外两个角的度数是 ___________________。
2、如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数.
3、如图3,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,求证BD=CE

4、如图4,AB=AE,BC=DE,∠B=∠E,AM⊥CD,垂足为点M
求证:CM=DM 
三、学习反思:本节课你有哪些收获?
课题:12.3.1等腰三角形(2)
【学习目标】理解等腰三角形的判定方法及应用。通过对等腰三角形的判定方法的探索,体会探索学习的乐趣。
【学习重点】等腰三角形的判定方法及其应用
【学习难点】探索等腰三角形的方法定理
【学习过程】
一、学前准备:
1、等腰三角形的两边长分别为6,8,则周长为_________________
2、等腰三角形的周长为14,其中一边长为6,则另两边分别为__________
3、等腰三角形的一个角为70°,则另外两个角的度数是__________
4、等腰三角形的一个角为120°则另外两个角的度数是 ____________________
5、如图,在△ABC中,AB=AC,
(1)若AD平分∠BAC,那么__________、___________
(2)若BD=CD,那么___________、_____________
(3)若AD⊥BC,那么______________、______________
二、探索思考
探索一:等腰三角形的判定方法
思考:(1)如图,位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警,当时测得∠A=∠B.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能大约同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)?
(2)我们把这个问题一般化,在一般的三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边有什么关系?
已知:在△ABO中,∠A=∠B
    求证:AO=AO
归纳:等腰三角形的判定方法:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的______也相等(简写成________________)
练习1
1、求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.
2、如图,AC和BD相交于点O,且AB∥DC,OA=OB,求证:OC=OD
3、如图,AD∥BC,BD平分∠ABC. 求证:AB=AD.
4、如图,∠A=∠B,CE∥DA,CE交AB于E,求证△CEB是等腰三角形
5、如图,△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,过点O作EF∥BC,交AB于点E,交AC于点F求证:EF=EB+FC5.如图:E在△ABC的AC边的延长线上,D点在AB边上,DE交BC于点F,DF=EF,BD=CE。
求证:△ABC是等腰三角形(提示:过点D作AE的平行线)。
三、学习反思:本节课你有哪些收获?
等腰三角形练习题
1、等腰三角形的顶角等于一个底角的4倍时, 则顶角为_________度.
2、已知如图,AD、C在一条直线上AB=BD=CD, ∠C=40°,则∠ABD=__________.
3、等腰三角形的一个角是65°,则顶角为________.
4、在等腰△ABC中, AB=AC, AD⊥BC于D, 且AB+AC+BC=50cm, 而AB+BD+AD=40cm, 则AD=___________cm.
5、等腰三角形顶角为80°,____度
6、不满足△ABC是等腰三角形的条件是[     ]
A、∠A:∠B:∠C=2:2:1         B、∠A:∠B:∠C=1:2:5
C、∠A:∠B:∠C=1:1:2        D、∠A:∠B:∠C=1:2:2
7、等腰三角形的一个角等于20°, 则它的另外两个角等于:[     ]
A.20°、140°  B.20°、140°或80°、80°  C.80°、80°  D.20°、80°
8、下列命题正确的是[     ]
A.等腰三角形只有一条对称轴     B.直线不是轴对称图形
C.直角三角形都不是轴对称图形   D.任何一角都是轴对称图形
9、等腰三角形两边分别为35厘米和22厘米, 则它的第三边长为[     ]
A.35cm      B.22cm      C.35cm或22cm      D.15cm
10、如图已知: AB=AC=BD, 那么∠1与∠2之间的关系满足[     ]
A.∠1=2∠2            B.2∠1+∠2=180°
C.∠1+3∠2=180°     D.3∠1-∠2=180°
11、如图, 已知:点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.求证:BD=CE
12、如图:△ABC中,AB=AC,PB=PC.求证:AD⊥BC
13、已知:如图,BE和CF是△ABC的高线,BE=CF,H是CF、BE的交点.
求证:HB=HC
14、如图,已知:在 中, , ,BD是 的高,求 的度数.
15、如图,△ABC中,D、E分别是AC、AB上的点,BD与CE交于点O,∠EBD=∠DCO,BE=CD。证明:△ABC是等腰三角形.
课题:12.3.2等边三角形(1)
【学习目标】理解并掌握等边三角形的定义,探索等边三角形的性质和判定方法;能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题。
【学习重点】等边三角形判定定理的发现与证明
【学习难点】等边三角形性质和判定的应用
【学习过程】
一、学前准备:
1、等腰三角形的性质:
(1)等腰三角形的__________相等
(2)等腰三角形______________、_____________、______________互相重合
2、等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形是______三角形,即___________叫等边三角形。
二、探索思考
探索一:等边三角形的性质和判定方法
思考:(1)把等腰三角形的性质(等腰三角形的两个底角相等)用到等边三角形,能得到什么结论?
(2)一个三角形满足什么条件就是等边三角形?
(3)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?
归纳:
(1)等边三角形的性质:等边三角形的____________________________________
(2)等边三角形的判定:1、______________________________________________
  2、___________________________________________________________________
练习:
1、如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,交AB,AC于D,E。求证△ADE是等边三角形。
2、探究:等边三角形三条中线相交于一点。画出图形,找出图中所有的全等三角形,并证明它们全等。
3、如图,△ABD,△AEC都是等边三角形,求证BE=DC
4、如图,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,求∠DBC的度数。
5、如图,等边三角形ABC中,AD是BC上的高,∠BDE=∠CDF=60°,图中有哪些与BD相等的线段?
   
6、如图,△ABC是等边三角形,∠B和∠C的平分线相交于D,BD、CD的垂直平分线分别交BC于E、F,求证:BE=CF.
三、学习反思:本节课你有哪些收获?
课题:12.3.2等边三角形(第二课时)
【学习目标】证明直角三角形中有一个角为30°的性质;有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用.
【学习重点】含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.
【学习难点】含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明,引导学生全面、周到地思考问题.
【学习过程】
一、学前准备:
1、等边三角形的性质:___________________________________________
2、等边三角形的判定:(1)_______________________________________________
(2)______________________________________________________________________
二、探索思考
探索一:有一个角为30°的直角三角形的性质
问题:用两个全等的含30°角的直角三角尺,你能拼出一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?说说你的理由.
由此你能想到,在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?你能证明你的结论吗?
已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°.
求证:BC=AB.
           
归纳:在直角三角形中,___________________________________________________。
练习:
1、右图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=7.4m,∠A=30°,立柱BD、DE要多长?
    
   
2、等腰三角形的底角为15°,腰长为2a,求腰上的高.
已知:如图,在△ABC中,AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高.求CD的长。
   
3、已知:如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°.
    求证:BD=AB.
    
    
4、.已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍,这个角的平分线把对边分成两条线段. 求证:其中一条是另一条的2倍.
已知:在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC=2∠C,BD是∠ABC的平分线.
求证:CD=2AD.
5、如图, △ABC为等边三角形,D、E分别是AC、BC上的点,且AD=CE,AE与BD相交于点P。
求证:BD=AE 
三、学习反思:本节课你有哪些收获?
课题:第十二章轴对称复习
【学习目标】(1)图形的轴对称:①通过具体实例认识轴对称,探索它的基本性质,理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质;②能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形;探索简单图形之间的轴对称关系,并能指出对称轴;③探索基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性及其相互关系;④欣赏现实生活中的轴对称图形,结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称,能利用轴对称进行图案设计;⑤在同一直角坐标系中,感受图形轴对称变换后点的坐标的变化.(2)线段的垂直平分线:了解线段垂直平分线及其性质.(3)等腰三角形:①了解等腰三角形的有关概念,探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件,了解等边三角形的概念并探索其性质;②了解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件.
【学习重点】轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定。
【学习难点】等腰三角形的性质和判定.掌握等腰三角形的性质和判定,并能应用这些知识。
【学习过程】
一、学前准备:
知识要点回顾:
(一)基本概念
1.轴对称图形
如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够_________,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就叫做_________,折叠后重合的点叫做__________。
2.线段的垂直平分线
经过线段________并且_________于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。
3.轴对称变换
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.
4.等腰三角形
有____________相等的三角形,叫做等腰三角形。相等的两条边叫做_____,另一条边叫做_______,两腰所夹的角叫做_______,底边与腰的夹角叫做________。
5.等边三角形
_____________都相等的三角形叫做等边三角形。
(二)主要性质
1.如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的_________,或者说轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的______________。
2.线段垂直平分钱的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离____________。
3.(1)点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标为______________。
(2)点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标为_________________。
4.等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两个底角____________(简称“________________”)。
(2)等腰三角形的________________、____________、_____________相互重合。
(3)等腰三角形是___________图形,____________(___________、__________)所在直线就是它的对称轴.
(4)等腰三角形两腰上的_______、________分别相等,两底角的___________也相等。
(5)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的_____________。
(6)等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边。
5.等边三角形的性质
(1)等边三角形的三个内角都_________,并且每一个角都等于_______°。
(2)等边三角形是轴对称图形,共有______条对称轴。
(3)等边三角形每边上的______、________和___________________互相重合。
(4)直角三角形中若有一个锐角为______°,那该锐角所对的直角边等于斜边的一半。
(三)有关判定
1.与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的__________________上。
2.如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也______(简写成“__________”)。
3.三个角都____________的三角形是等边三角形。
4.有一个角是________°的等腰三角形是等边三角形。
二、知识运用:
1、以下图形有两条对称轴的是(  )
    A、正六边形    B、 矩形    C、等腰三角形     D、圆
2、如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,
则∠A为______
3、等腰三角形的两边长分别为3cm,7cm,则它的周长为__________cm。
4、如图,在△ABC中,DE是边AC的垂直平分线,若BC=8cm,AB=10cm,则△EBC的周长为_________cm。
       
5、将一张长方形纸按如上图的方式折叠,BC,BD为折痕,则∠CBD为(     )
 A、50°   B、90°    C、 100°   D、110°
6、在等腰中,,一边上的中线将这个三角形的周长分为15和12两个部分,则这个等腰三角形的底边长为(       )
A.7			B.11			C.7或11			D.7或10
6.如图,、、是三个村庄,现要修建一个自来水厂,使得自来水厂到三个村庄的距离相等,请你作出自来水厂的位置
7.如图,在直线上求作一点,  点使点到点和点的距离加起来最短。
8. 如图,内有两点、,求作一点,使到两边的距离相等,且到点和点的距离相等.
9. 画出下图中△ABC关于直线MN的轴对称图形
10、四边形ABCD是正方形,△PAD是等边三角形,求的度数。
11、如图所示,已知∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°.求证BD=AB.
                                        
12、如图所示,AB=AC,BC=BD=ED=EA,求∠A的度数.
13、如图所示,在△ABC中,D在BC上,若AD=BD,AB=AC=CD,求∠BAC的度数.
                                      
14、已知点A(2m+1,m-3)关于y轴的对称点在第四象限,则m的取值范围是           。


A
P
图2
l
C
A'
A
图1
O
E
A
C
E
D
F
B
B
D
C
A
O	
A	
B	
C	
E	
D	
l
A
C
A'
·B
·A
D
E
A
C
B
C
A
图3
B
D
C
A
图4
C
B
C
O
B
A
O
B
A
D
C
A
B
(D)
(C)
D
E
(B)
B
(A)
A
A'
图5
P
A
C
D
B
图6
小明:不对,应该是找两个点P、Q,使PA=P A' ,QA=Q A' ,则直线PQ是线段AB的垂直平分线。
小红:这只聪明的蜘蛛告诉我,找到一个点P使PA= P A' 则过点P的直线是线段AA'的垂直平分线
B
A
A
B
C
P
图7
长沙
株洲
湘潭
P
A'
A
·A
B·
·C
·A
B·
·C
重合的线段	重合的角											
A
B
C
A
B
C
D
E
图3
M
A
B
C
D
E
图4
F
B
C
A
P
E
D
C
B
A
A
D
C
B
B
C
A
E
D